Question

6．设函数f（x）=|2x-1|+|x+1|．
（1）求f（x）≥2的解集；
（2）若函数f（x）的最小值为m，a，b均为正实数，a+b=m，求a²+b²的最小值．

Answer 1

分析 （1）先去掉绝对值，化简函数的解析式，分类讨论求得f（x）≥2的解集．
（2）根据函数的解析式求得函数f（x）的最小值，再利用基本不等式求得a²+b²的最小值．

解答 解：（1）∵f（x）=|2x-1|+|x+1|=$\left\{\begin{array}{l}{-3x，x＜-1}\\{-x+2，-1≤x≤\frac{1}{2}}\\{3x，x＞\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，
由$\left\{{\begin{array}{l}{-3x≥2}\\{x＜-1}\end{array}}\right.⇒x＜-1$；由$\left\{{\begin{array}{l}{-1≤x≤\frac{1}{2}}\\{-x+2≥2}\end{array}}\right.⇒-1≤x≤0$；由$\left\{{\begin{array}{l}{x＞\frac{1}{2}}\\{3x≥2}\end{array}}\right.⇒x≥\frac{2}{3}$，
∴不等式f（x）≥2的解集为$\left\{{x|x≤0或x≥\frac{2}{3}}\right\}$．
（2）由函数f（x）的定义域为R，根据函数的解析式可知，当$x=\frac{1}{2}$时，函数f（x）的最小值为$f（{\frac{1}{2}}）=\frac{3}{2}$，
故有 $a+b=\frac{3}{2}，{（{a+b}）^2}={a^2}+{b^2}+2ab≤2（{{a^2}+{b^2}}）$，可得${a^2}+{b^2}≥\frac{9}{8}$，当且仅当a=b时，取等号，
所以a²+b²的最小值为$\frac{9}{8}$．

点评 本题主要考查带有绝对值的函数，绝对值不等式的解法，基本不等式的应用，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．