Question

13．已知函数f（x）=a+bcosx+csinx的图象经过（0，1），（$\frac{π}{2}$，1）两点．
（1）利用公式sinx+cosx=$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$）将f（x）表示为Asin（ωx+φ）+B的形式，并求a=2时f（x）在[0，$\frac{π}{2}$]上的值域；
（2）若不等式|f（x）|≤2，在[0，$\frac{π}{2}$]上恒成立，求实数a的取值范围；
（3）当a＞1时，若在[0，$\frac{π}{2}$]上存在x使不等式f（x+$\frac{π}{4}$）f（x-$\frac{π}{4}$）+a²-4a+2≥0成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由题意列出方程组，求出a、b、c的关系，由两角和的正弦公式化简f（x），由a=2求出f（x），由x的范围和正弦函数的图象与性质，求出f（x）的值域；
（2）由x的范围和正弦函数的图象与性质，求出f（x）的最值，由条件和恒成立列出不等式，求出实数a的取值范围；
（3）由（1）和诱导公式化简f（x+$\frac{π}{4}$）f（x-$\frac{π}{4}$），代入不等式后结合条件化简，利用平方关系、换元法、分离常数法化简不等式，由条件和函数的单调性求出实数a的取值范围．

解答 解：（1）由题意得，f（x）的图象经过（0，1），（$\frac{π}{2}$，1）两点，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a+bcos0+csin0=1}\\{a+bcos\frac{π}{2}+csin\frac{π}{2}=1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{c=b}\\{a=1-b}\end{array}\right.$，
则f（x）=bsinx+bcosx+1-b=$\sqrt{2}bsin（x+\frac{π}{4}）+1-b$，
又a=2，则b=c=-1，∴f（x）=$-\sqrt{2}sin（x+\frac{π}{4}）+2$，
由x∈[0，$\frac{π}{2}$]得，$x+\frac{π}{4}∈[\frac{π}{4}，\frac{3π}{4}]$，则$\frac{\sqrt{2}}{2}≤sin（x+\frac{π}{4}）≤1$，
∴f（x）的值域是$[-\sqrt{2}+2，1]$；
（2）由（1）得，f（x）=$\sqrt{2}bsin（x+\frac{π}{4}）+1-b$=$\sqrt{2}（1-a）sin（x+\frac{π}{4}）+a$，
由x∈[0，$\frac{π}{2}$]得，$x+\frac{π}{4}∈[\frac{π}{4}，\frac{3π}{4}]$，则$\frac{\sqrt{2}}{2}≤sin（x+\frac{π}{4}）≤1$，
当$sin（x+\frac{π}{4}）=1$ 时，f（x）=$\sqrt{2}（1-a）+a$=$\sqrt{2}+（1-\sqrt{2}）a$，
当$sin（x+\frac{π}{4}）=\frac{\sqrt{2}}{2}$时，f（x）=$\sqrt{2}（1-a）×\frac{\sqrt{2}}{2}+a$=1，
∵不等式|f（x）|≤2，在[0，$\frac{π}{2}$]上恒成立，
∴|$\sqrt{2}+（1-\sqrt{2}）a$|≤2，解得$-\sqrt{2}≤a≤\sqrt{2}（3+2\sqrt{2}）$，
即$-\sqrt{2}≤a≤4+3\sqrt{2}$，
∴实数a的取值范围是$[-\sqrt{2}，4+3\sqrt{2}]$；
（3）由（1）得，f（x）=$\sqrt{2}（1-a）sin（x+\frac{π}{4}）+a$，
∴f（x+$\frac{π}{4}$）f（x-$\frac{π}{4}$）=[$\sqrt{2}（1-a）sin（x+\frac{π}{2}）+a$][$\sqrt{2}（1-a）sinx+a$]
=[$\sqrt{2}（1-a）cosx+a$][$\sqrt{2}（1-a）sinx+a$]
=$2{（1-a）}^{2}sinxcosx+\sqrt{2}a（1-a）（cosx+sinx）+{a}^{2}$，
代入不等式f（x+$\frac{π}{4}$）f（x-$\frac{π}{4}$）+a²-4a+2≥0得，
$2{（1-a）}^{2}sinxcosx+\sqrt{2}a（1-a）（cosx+sinx）$+2（a²-2a+1）≥0，
又a＞1，$2（a-1）sinxcosx-\sqrt{2}a（cosx+sinx）+2（a-1）≥0$，①
设t=sinx+cosx，则2sinxcosx=t²-1，且t=$\sqrt{2}sin（x+\frac{π}{4}）$，
由x∈[0，$\frac{π}{2}$]得，$x+\frac{π}{4}∈[\frac{π}{4}，\frac{3π}{4}]$，则$\frac{\sqrt{2}}{2}≤sin（x+\frac{π}{4}）≤1$，
∴t∈$[1，\sqrt{2}]$，代入①整理得，
（a-1）（t²-1）-$\sqrt{2}$at+2（a-1）≥0，则（a-1）t²-$\sqrt{2}$at+a-1≥0，
∵${t}^{2}-\sqrt{2}t+1＞0$，∴$a≥\frac{{t}^{2}+1}{{t}^{2}-\sqrt{2}t+1}$=$\frac{{t}^{2}-\sqrt{2}t+1+\sqrt{2}t}{{t}^{2}-\sqrt{2}t+1}$=1+$\frac{\sqrt{2}t}{{t}^{2}-\sqrt{2}t+1}$，
设y=1+$\frac{\sqrt{2}t}{{t}^{2}-\sqrt{2}t+1}$=1+$\frac{\sqrt{2}}{t+\frac{1}{t}-\sqrt{2}}$，
∵函数y=$t+\frac{1}{t}$在$[1，\sqrt{2}]$上递增，∴函数y=1+$\frac{\sqrt{2}}{t+\frac{1}{t}-\sqrt{2}}$在$[1，\sqrt{2}]$上递减，
则此函数的最小值是1+$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}+\frac{1}{\sqrt{2}}-\sqrt{2}}$=3，
∵当a＞1时，在[0，$\frac{π}{2}$]上存在x使不等式f（x+$\frac{π}{4}$）f（x-$\frac{π}{4}$）+a²-4a+2≥0成立，
∴实数a的取值范围是[3，+∞]．

点评 本题考查正弦函数的图象与性质，三角恒等变换中的公式，函数的单调性，以及恒成立与存在性问题的转化，考查转化思想，换元法、分离常数法，化简、变形能力．