Question

9．如图所示，已知AB为圆O的直径，C，D是圆O上的两个点，CE⊥AB于E，BD交AC于G，交CE于F，CF=FG．
（Ⅰ）求证：AC是∠DAB的平分线；
（Ⅱ）求证：OF∥AG．

Answer 1

分析 （I）要证明C是劣弧BD的中点，即证明弧BC与弧CD相等，即证明∠CAB=∠DAC，根据已知中CF=FG，AB是圆O的直径，CE⊥AB于E，我们易根据同角的余角相等，得到结论．
（II）由已知及（I）的结论，我们易证明△BFC及△GFC均为等腰三角形，即CF=BF，CF=GF，进而得到结论．

解答 解：（I）∵CF=FG
∴∠CGF=∠FCG
∴AB圆O的直径
∴∠ACB=∠ADB=90°
∵CE⊥AB
∴∠CEA=90°
∵∠CBA=90°-∠CAB，∠ACE=90°-∠CAB
∴∠CBA=∠ACE
∵∠CGF=∠DGA，
∴∠DGA=∠ABC
∴∴∠CAB=∠DAC
∴C为劣弧BD的中点，
∴AC是∠DAB的平分线；
（II）∵∠GBC=90°-∠CGB，∠FCB=90°-∠GCF
∴∠GBC=∠FCB
∴CF=FB
同理可证：CF=GF
∴BF=FG，
∵OA=OB，
∴OF∥AG．

点评 本题考查的知识点圆周角定理及其推理，同（等）角的余角相等，其中根据AB是圆O的直径，CE⊥AB于E，找出要证明相等的角所在的直角三角形，是解答本题的关键．