Question

6．在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，直线C₁的极坐标方程是ρsinθ+ρcosθ-1=0，圆C₂的参数方程是$\left\{\begin{array}{l}{x=cosα}\\{y=sinα}\end{array}\right.$（α是参数）．
（1）求直线C₁和圆C₂的交点的极坐标；
（2）若直线l经过直线C₁和圆C₂交点的中点，且垂直于直线C₁，求直线l的极坐标方程．

Answer 1

分析 （1）直线C₁的极坐标方程是ρsinθ+ρcosθ-1=0，利用y=ρsinθ，x=ρcosθ可得直角坐标方程．由圆C₂的参数方程是$\left\{\begin{array}{l}{x=cosα}\\{y=sinα}\end{array}\right.$（α是参数），利用cos²α+sin²α=1可得普通方程，联立可得交点坐标，利用互化公式即可化为极坐标．
（2）由（1）可得线段AB的中点为$（\frac{1}{2}，\frac{1}{2}）$，由直线l与直线x+y-1=0垂直，可得斜率k=1．可得点斜式，即可化为极坐标方程．

解答 解：（1）直线C₁的极坐标方程是ρsinθ+ρcosθ-1=0，可得直角坐标方程：x+y-1=0．
由圆C₂的参数方程是$\left\{\begin{array}{l}{x=cosα}\\{y=sinα}\end{array}\right.$（α是参数），
可得x²+y²=1，联立$\left\{\begin{array}{l}{x+y-1=0}\\{{x}^{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=0}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=1}\end{array}\right.$，
即直线与圆的交点分别为A（1，0），B（0，1），
化为极坐标分别为：A（1，0），B（1，$\frac{π}{2}$）．
（2）由（1）可得线段AB的中点为$（\frac{1}{2}，\frac{1}{2}）$，由直线l与直线x+y-1=0垂直，可得斜率k=1．
∴直线l的直角坐标方程为：y-$\frac{1}{2}$=x-$\frac{1}{2}$，即y=x，可得极坐标方程为：$θ=\frac{π}{4}$，（ρ∈R）．

点评 本题考查了极坐标与直角坐标方程的互化、参数方程化为普通方程、点斜式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．