Question

16．已知直线C₁：$\left\{\begin{array}{l}x=1+\frac{4}{5}t\\ y=1-\frac{3}{5}t\end{array}\right.$（t为参数），曲线C₂：ρ=4cosθ
（1）将C₁与C₂化成普通方程与直角坐标方程；
（2）求直线C₁被曲线C₂所截得的弦长．

Answer 1

分析 （1）直线C₁：$\left\{\begin{array}{l}x=1+\frac{4}{5}t\\ y=1-\frac{3}{5}t\end{array}\right.$（t为参数），消去参数t可得普通方程．曲线C₂：ρ=4cosθ，即ρ²=4ρcosθ，把ρ²=x²+y²，x=ρcosθ代入可得C的直角坐标方程．
（2）求出圆心到直线的距离d．可得直线C₁被曲线C₂所截得的弦长=2$\sqrt{{r}^{2}-{d}^{2}}$．

解答 解：（1）直线C₁：$\left\{\begin{array}{l}x=1+\frac{4}{5}t\\ y=1-\frac{3}{5}t\end{array}\right.$（t为参数），消去参数t可得普通方程：3x+4y=7．
曲线C₂：ρ=4cosθ，即ρ²=4ρcosθ，化为直角坐标方程：x²+y²=4x，配方为  C₂：（x-2）²+y²=4，可得圆心（2，0），半径r=2．
（2）圆心到直线的距离d=$\frac{|6-7|}{5}$=$\frac{1}{5}$．
∴直线C₁被曲线C₂所截得的弦长=2$\sqrt{{r}^{2}-{d}^{2}}$=2$\sqrt{{2}^{2}-（\frac{1}{5}）^{2}}$=$\frac{{6\sqrt{11}}}{5}$．

点评 本题考查了参数方程化为普通方程、极坐标方程化为直角坐标方程、点到直线的距离公式、直线与圆相交弦长公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．