Question

4．直角坐标系中曲线C的参数方程为$\left\{{\begin{array}{l}{x=4cosθ}\\{y=3sinθ}\end{array}}\right.$（θ为参数）．
（1）求曲线C的直角坐标方程；
（2）经过点M（2，2）作直线l交曲线C于A，B两点，若M恰好为线段AB的中点，求直线l的斜率．

Answer 1

分析 （1）由曲线C的参数方程为$\left\{{\begin{array}{l}{x=4cosθ}\\{y=3sinθ}\end{array}}\right.$（θ为参数），利用cos²θ+sin²θ=1可得曲线C的直角坐标方程．
（2）设直线l的参数方程为：$\left\{\begin{array}{l}{x=2+tcosα}\\{y=2+tsinα}\end{array}\right.$（α为参数）代入曲线C的方程有：（7sin²α+9）t²+（36cosα+64sinα）t-44=0，设点A，B对应的参数分别为t₁，t₂，可得t₁+t₂=0，即可得出．

解答 解：（1）由曲线C的参数方程为$\left\{{\begin{array}{l}{x=4cosθ}\\{y=3sinθ}\end{array}}\right.$（θ为参数），
利用cos²θ+sin²θ=1可得：曲线C的直角坐标方程为：$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1$．
（2）设直线l的参数方程为：$\left\{\begin{array}{l}{x=2+tcosα}\\{y=2+tsinα}\end{array}\right.$（α为参数）
代入曲线C的方程有：（7sin²α+9）t²+（36cosα+64sinα）t-44=0，
设点A，B对应的参数分别为t₁，t₂，则t₁+t₂=36cosα+64sinα=0，
∴tanα=-$\frac{9}{16}$，即直线l的斜率$-\frac{9}{16}$．

点评 本题考查了参数方程化为普通方程及其应用、一元二次方程的根与系数的关系、三角函数基本关系式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．