Question

2．已知函数f（x）=|x+1|+2|x-1|
（Ⅰ）求不等式f（x）≥x+3的解集；
（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）≥log_a（x+1）在x≥0上恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）把要解的不等式转化为与之等价的三个不等式组，分别求得每个不等式组的解集，再取并集，即得所求．
（Ⅱ）当0＜a＜1时，在（0，+∞）上，不等式显然成立；当a＞1时，结合f（x）、g（x）的图象，可得当g（x）的图象经过点（1，2）时，a=$\sqrt{2}$，要使不等式f（x）≥g（x）=log_a（x+1）恒成立，a≥$\sqrt{2}$，综合可得，a的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）由于函数f（x）=|x+1|+2|x-1|，不等式f（x）≥x+3，即|x+1|+2|x-1|≥x+3，
即 $\left\{\begin{array}{l}{x＜-1}\\{-x-1+2（1-x）≥x+3}\end{array}\right.$ ①，或$\left\{\begin{array}{l}{-1≤x＜1}\\{x+1+2（1-x）≥x+3}\end{array}\right.$ ②，或$\left\{\begin{array}{l}{x≥1}\\{x+1+2（x-1）≥x+3}\end{array}\right.$③．
解①求得x＜-1，解②求得-1≤x≤0，解③求得 x≥2，
故原不等式的解集为{x|x≤0，或x≥2}．
（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）≥log_a（x+1）在x≥0上恒成立，即|x+1|+2|x-1|≥log_a（x+1）在x≥0上恒成立．
由于g（x）=log_a（x+1）的图象经过点（0，0），且图象位于直线x=-1的右侧，
当0＜a＜1时，在（0，+∞）上，log_a（x+1）＜0，f（x）＞0，不等式f（x）≥g（x）=log_a（x+1）恒成立．
当a＞1时，结合f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{1-3x，x＜-1}\\{3-x，-1≤x＜1}\\{3x-1，x≥1}\end{array}\right.$、g（x）的图象，
当g（x）的图象经过点（1，2）时，a=$\sqrt{2}$，要使不等式f（x）≥g（x）=log_a（x+1）恒成立，a≥$\sqrt{2}$，
综上可得，a的取值范围为（0，1）∪[2，+∞）．

点评 本题主要考查绝对值不等式的解法，函数的恒成立问题，体现了数形结合、分类讨论的数学思想，属于中档题．