Question

11．设函数f（x）=lnx-$\frac{1}{2}a{x^2}$-2x，其中a≤0
（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y=2x+b，求a-2b的值；
（Ⅱ）讨论函数f（x）的单调性．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出导函数，根据切线的定义代入求值即可；
（Ⅱ）求出导函数，对a进行分类讨论，通过导函数的正负得出原函数的单调性，求出函数的单调区间．

解答 解：（Ⅰ）函数$f（x）=lnx-\frac{1}{2}a{x^2}-2x$的定义域为（0，+∞），
$f'（x）=\frac{1}{x}-ax-2=\frac{{-a{x^2}-2x+1}}{x}$…（1分）
由题意得f'（1）=2，即-a-2+1=2，所以a=-3…（3分）
又因为$f（1）=-\frac{1}{2}×-3-2=-\frac{1}{2}$，所以把点$（{1，-\frac{1}{2}}）$带入y=2x+b，
得$b=-\frac{5}{2}$                          …（5分）
所以a-2b=2…（6分）
（Ⅱ）$f'（x）=\frac{1}{x}-ax-2=\frac{{-a{x^2}-2x+1}}{x}$，
 当a=0时，$f'（x）=\frac{-2x+1}{x}$
由f'（x）＞0得$0＜x＜\frac{1}{2}$，由f'（x）＜0得$x＞\frac{1}{2}$
所以函数f（x）在$（0，\frac{1}{2}）$上单调递增，在$（\frac{1}{2}，+∞）$上单调递减        …（8分）
当a＜0时，令h（x）=-ax²-2x+1，由于△=4+4a=4（1+a）
（1）当a≤-1时，△≤0，f'（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，
函数f（x）在（0，+∞）上单调递增                               …（10分）
（2）当-1＜a＜0时，△＞0
由f'（x）＞0得$0＜x＜\frac{{-1+\sqrt{1+a}}}{a}$或$x＞\frac{{-1-\sqrt{1+a}}}{a}$
由f'（x）＜0得$\frac{{-1+\sqrt{1+a}}}{a}＜x＜\frac{{-1-\sqrt{1+a}}}{a}$
所以函数f（x）在$（0，\frac{{-1+\sqrt{1+a}}}{a}），（\frac{{-1-\sqrt{1+a}}}{a}，+∞）$上单调递增，
在$（\frac{{-1+\sqrt{1+a}}}{a}，\frac{{-1-\sqrt{1+a}}}{a}）$上单调递减                  …（12分）
综上可得，当a=0时，函数f（x）在$（0，\frac{1}{2}）$上单调递增，在$（\frac{1}{2}，+∞）$上单调递减
当-1＜a＜0时，函数f（x）在$（0，\frac{{-1+\sqrt{1+a}}}{a}），（\frac{{-1-\sqrt{1+a}}}{a}，+∞）$上单调递增，在$（\frac{{-1+\sqrt{1+a}}}{a}，\frac{{-1-\sqrt{1+a}}}{a}）$上单调递减，
当a≤-1时，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增                …（14分）

点评 考查了导数的概念和导数的应用，难点是对参数的分类讨论问题．