Question

12．已知极坐标系的极点O与直角坐标系的原点重合，极轴与直角坐标系中x轴的正半轴重合．圆C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=a+acosθ\\ y=asinθ\end{array}$（θ为参数，0＜a＜5），直线l：ρsin（θ+$\frac{π}{4}$）=2$\sqrt{2}$，若直线l与曲线C相交于A，B两点，且|AB|=2$\sqrt{2}$．
（Ⅰ）求a；
（Ⅱ）若M，N为曲线C上的两点，且∠MON=$\frac{π}{3}$，求|OM|+|ON|的最小值．

Answer 1

分析 （ I）由$\left\{\begin{array}{l}x=a+acosθ\\ y=asinθ\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}x-a=acosθ\\ y=asinθ\end{array}\right.$，利用cos²θ+sin²θ=1可得普通方程．由$ρsin（θ+\frac{π}{4}）=ρsinθcos\frac{π}{4}+ρcosθsin\frac{π}{4}=2\sqrt{2}$，把x=ρcosθ，y=ρsinθ代入，得直线l的普通方程．可得圆心到直线的距离d，利用弦长公式|AB|=2$\sqrt{{r}^{2}-{d}^{2}}$即可解出a．
（Ⅱ）由（ I）得，圆C的普通方程为（x-2）²+y²=4．把x=ρcosθ，y=ρsinθ代入，得圆C的极坐标方程为ρ=2cosθ．依题意，设$M（{ρ_1}，{θ_1}），N（{ρ_2}，{θ_1}+\frac{π}{3}）（{θ_1}∈（{0，2π}））$，即可得出．

解答 解：（ I）由$\left\{\begin{array}{l}x=a+acosθ\\ y=asinθ\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}x-a=acosθ\\ y=asinθ\end{array}\right.$，
∴圆C的普通方程为（x-a）²+y²=a²．可得圆心为（a，0），半径r=a．
∵$ρsin（θ+\frac{π}{4}）=ρsinθcos\frac{π}{4}+ρcosθsin\frac{π}{4}=2\sqrt{2}$，
把x=ρcosθ，y=ρsinθ代入，得直线l的普通方程为x+y-4=0．
∵圆心到直线的距离$d=\frac{{|{a-4}|}}{{\sqrt{2}}}$，∴$|{AB}|=2\sqrt{{r^2}-{d^2}}=2\sqrt{2}$，即${a^2}-\frac{{{{（{a-4}）}^2}}}{2}=2$，得a=2，或a=6，
∵0＜a＜5，∴a=2．
（Ⅱ）由（ I）得，圆C的普通方程为（x-2）²+y²=4．
把x=ρcosθ，y=ρsinθ代入，得（ρcosθ-2）²+（ρsinθ）²=4，
化简，得圆C的极坐标方程为ρ=2cosθ．
依题意，设$M（{ρ_1}，{θ_1}），N（{ρ_2}，{θ_1}+\frac{π}{3}）（{θ_1}∈（{0，2π}））$，
∴$|{OM}|+|{ON}|={ρ_1}+{ρ_2}=4cos{θ_1}+4cos（{{θ_1}+\frac{π}{3}}）=6cos{θ_1}-2\sqrt{3}sin{θ_1}=4\sqrt{3}cos（{θ_1}+\frac{π}{6}）$，
∵θ₁∈（0，2π）∴|OM|+|ON|的最小值为4$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了坐标变换、圆的参数方程、直线与圆相交弦长问题、和差公式、直角坐标方程化为极坐标方程，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．