Question

已知函数f（x）=

sinx， 当sinx≥cosx cosx， 当sinx＜cosx

，现有下列四个命题：
p₁：函数f（x）的值域是[-1，1]；
p₂：当且仅当2kπ+π＜x＜2kπ+

3π

2

（k∈Z）时，f（x）＜0；
p₃：当且仅当x=2kπ+

π

2

（k∈Z）时，该函数取得最大值1；
p₄：函数f（x）是以2π为最小正周期的周期函数．
其中为真命题的是

 

．

Answer 1

考点：分段函数的应用

专题：函数的性质及应用,三角函数的图像与性质

分析：由题意作出此分段函数的图象，由图象研究该函数的性质，依据这些性质判断四个命题的真假，可得答案．

解答： 解：函数f（x）=

sinx，当sinx≥cosx cosx，当sinx＜cosx

的图象如下图中实线部分．观察图象可知：

函数f（x）的值域是[-

2

2

，1]，故p₁错误；
当且仅当2kπ+π＜x＜2kπ+

3π

2

（k∈Z）时，f（x）＜0，故p₂正确；
当且仅当x=2kπ或x=2kπ+

π

2

（k∈Z）时，该函数取得最大值1，故p₃错误；
函数f（x）是以2π为最小正周期的周期函数，故p₄正确．
故真命题有：p₂，p₄，
故答案为：p₂，p₄

点评：本题考点是三角函数的最值，本题是函数图象的运用，由函数的图象研究函数的性质，并以由图象研究出的结论判断和函数有关的命题的真假．