Question

已知点A（-2，0），B（2，0），动点P满足：∠APB=2θ，且|PA||PB|sin²θ=2．
（1）求动点P的轨迹Q的方程；
（2）过点B的直线l与轨迹Q交于两点M，N．试问在x轴上是否存在定点C，使得为常数．若存在，求出点C的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

解：（1）△APB中，由余弦定理得：AB|²=|PA|²+|PB|²-2|PA|•|PB|•cos2θ=
|PA|²+|PB|²-2|PA|•|PB|•（1-2sin²θ）=|PA|²+|PB|²-2|PA|•|PB|+4|PA|•|PB|sin²θ
=（|PA|-|PB|）²+8=16，∴||PA|-|PB||=2，故点P的轨迹是以A、B为焦点的双曲线，
且 c=2，a=，∴b=，故双曲线方程为 x²-y²=2．
（2）假设存在定点C（m，0），使得为常数，当直线l斜率存在时，设直线l的方程为 y=k（x-2），
代入双曲线方程得 （1-k²） x²+4k²x-（4k²+2）=0，由题意知 k≠±1．
∴x₁+x₂=，x₁•x₂=．
∵=（x₁-m）（x₂-m）+k²（x₁-2 ）（x₂-2）
=（1+k²）x₁•x₂-（2k²+m）（x₁+x₂）+4k²+m²= 为常数，与k无关，
∴m=1，此时，=-1．
当当直线l斜率不存在时，M（2，2），N （2，-2），=-1．
综上，存在定点C（1，0），使得为常数．
分析：（1）△APB中，由余弦定理和已知条件得||PA|-|PB||=2，再利用双曲线的定义知点P的轨迹是以A、B为焦点的双曲线，求出 a和 b 的值，即得双曲线方程．
（2）假设存在定点C（m，0），用点斜式设出直线l的方程代入双曲线方程，利用根与系数的关系以及为常数，求得 m 值．
点评：本题考查余弦定理、双曲线的定义，一元二次方程根与系数的关系，向量坐标形式的运算，求定点C 的横坐标m值是解题的难点和关键．