Question

设f（x）=

2- x+3 x+1

的定义域为A，g（x）=lg[（x-a-1）（2a-x）]（a＜1）的定义域为B．
（Ⅰ）求A、B；
（Ⅱ）若p：x∈A，q：x∈B，￢p是￢q充分不必要条件，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：复合命题的真假,函数的定义域及其求法

专题：简易逻辑

分析：（Ⅰ）要使f（x）有意义，则需由 2-

x+3

x+1

≥0，按分式不等式的解法求解，要使g（x）有意义，则由真数大于零求解即可．
（Ⅱ）由￢p是￢q充分不必要条件，p是q必要不充分条件，继而求出a 的范围

解答： 解：（Ⅰ）由 2-

x+3

x+1

≥0，解得x＜-1或x≥1，即A=（-∞，-1）∪[1，+∞）
由（x-a-1）（2a-x）＞0得：（x-a-1）（x-2a）＜0，由a＜1得a+1＞2a，∴2a＜x＜a+1，∴B=（2a，a+1）．
（Ⅱ）∵p：x∈A，q：x∈B，￢p是￢q充分不必要条件，
∴p是q必要不充分条件，
∴

2a≥1 a＜1

或

a+1≤-1 a＜1

解得

1

2

≤a＜1，或a≤-2，
故实数a的取值范围为（-∞，-2]∪[

1

2

，1）

点评：本题通过求函数定义域来考查分式不等式，一元二次不等式的解法和集合的运算．