Question

已知函数f（x）=

1

2

ax²-x-lnx（a为常数）．
（Ⅰ）当a=2时，求函数f（x）f（x）的单调区间；
（Ⅱ）是否存在正实数a，使得函数f（x）f（x）的极小值小于0，若存在，求出a的取值范围，若不存在，说明理由．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数研究函数的极值

专题：计算题,函数的性质及应用,导数的综合应用

分析：（Ⅰ）当a=2时，f（x）=x²-x-lnx，再求导f′（x）=2x-1-

1

x

=

2x2-x-1

x

=

(2x+1)(x-1)

x

，从而判断单调区间；
（Ⅱ）先求导f′（x）=

ax2-x-1

x

=0，从而确定f（x）在（0，

1+ 1+4a

2a

）上单调递减，在（

1+ 1+4a

2a

，+∞）上递增；从而得到f（x）的极小值，再由单调性确定极小值小于0时的a即可．

解答： 解：（Ⅰ）当a=2时，f（x）=x²-x-lnx，
f′（x）=2x-1-

1

x

=

2x2-x-1

x

=

(2x+1)(x-1)

x

，
当0＜x＜1时，f′（x）＜0，x＞1时，f′（x）＞0；
∴f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增；
（Ⅱ）令f′（x）=

ax2-x-1

x

=0得，即ax²-x-1=0，
得方程的两根为x₁=

1- 1+4a

2a

，x₂=

1+ 1+4a

2a

；
∴f（x）在（0，

1+ 1+4a

2a

）上单调递减，在（

1+ 1+4a

2a

，+∞）上递增；
f（x）的极小值为f（x₂）=

1

2

ax₂²-x₂-lnx₂，
又ax₂²-x₂-1=0得，
f（x₂）=

1

2

（x₂+1）-x₂-lnx₂=-

x2

2

+

1

2

-lnx₂，
设h（x）=-

x

2

+

1

2

-lnx，h′（x）=-

1

2

-

1

x

＜0；
故h（x）=-

x

2

+

1

2

-lnx在（0，+∞）上递减，
又h（1）=0，要使f（x₂）＜0，只需要x₂＞1；
则

1+ 1+4a

2a

＞1，故0＜a＜2；
即a的取值范围为（0，2）．

点评：本题考查了导数的综合应用及恒成立问题，属于中档题．