Question

10．设A、B两点在椭圆$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1上，点M（1，$\frac{1}{2}$）是AB的中点．
（1）求直线AB的方程；
（2）若该椭圆上的点C的横坐标为-$\sqrt{3}$，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）可设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），代入椭圆方程，作差，由直线的斜率公式和中点坐标公式，可得直线的斜率，进而得到所求直线方程；
（2）联立直线和椭圆方程，求得A，B的坐标及距离，求得C到直线的距离，再由三角形的面积公式，计算即可得到所求面积．

解答 解：（1）M的坐标代入椭圆方程，可得$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{4}$＜1，
即有M在椭圆内，
可设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
即有$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{4}$+y₁²=1，$\frac{{{x}_{2}}^{2}}{4}$+y₂²=1，
两式相减可得，$\frac{1}{4}$（x₁-x₂）（x₁+x₂）+（y₁-y₂）（y₁+y₂）=0，
由x₁+x₂=2，y₁+y₂=1，
则k_AB=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=-$\frac{1}{2}$，
即有直线AB的方程为y-$\frac{1}{2}$=-$\frac{1}{2}$（x-1），
即为x+2y-2=0；
（2）点C的坐标为（-$\sqrt{3}$，$\frac{1}{2}$）或（-$\sqrt{3}$，-$\frac{1}{2}$），
由$\left\{\begin{array}{l}{x+2y-2=0}\\{{x}^{2}+4{y}^{2}=4}\end{array}\right.$可得$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=1}\end{array}\right.$，
即有|AB|=$\sqrt{（2-0）^{2}+（0-1）^{2}}$=$\sqrt{5}$．
C到直线AB的距离为d=$\frac{|-\sqrt{3}+1-2|}{\sqrt{5}}$=$\frac{1+\sqrt{3}}{\sqrt{5}}$
或$\frac{|-\sqrt{3}-1-2|}{\sqrt{5}}$=$\frac{3+\sqrt{3}}{\sqrt{5}}$，
则△ABC的面积为S=$\frac{1}{2}$•$\sqrt{5}$•$\frac{1+\sqrt{3}}{\sqrt{5}}$=$\frac{1+\sqrt{3}}{2}$；
或S=$\frac{1}{2}$•$\sqrt{5}$•$\frac{3+\sqrt{3}}{\sqrt{5}}$=$\frac{3+\sqrt{3}}{2}$．

点评 本题考查椭圆的方程及应用，考查直线和椭圆的位置关系，联立直线方程和椭圆方程，求得交点，以及运用点差法求直线的斜率，属于中档题．