Question

已知函数f（x）=

ln(x+1)

x+1

（1）求函数f（x）的最大值；
（2）设函数g（x）=

x

(x+1) x+1

，证明：当x＞0时，函数f（x）的图象总在函数g（x）图象的下方．

Answer 1

分析：（1）求出函数的定义域，求出函数的导函数，由导函数的零点对定义域分段，判出函数的极值点，从而得到最大值点，代入原函数求最大值；
（2）要证当x＞0时，函数f（x）的图象总在函数g（x）图象的下方把两函数作差后得到恒小于0的不等式，换元后构造辅助函数，求导后证明函数的最大值小于0，则问题得到证明．

解答：（1）解：因为函数f（x）=

ln(x+1)

x+1

的定义域为（-1，+∞）．
f′(x)=

1-ln(x+1)

(x+1)2

，由f′（x）=0得x=e-1．
所以当x∈（-1，e-1）时，f′（x）＞0．
当x∈（e-1，+∞）时，f′（x）＜0．
所以当x=e-1时f（x）由最大值，最大值为f（e-1）=

1

e

；
（2）证明：f（x）-g（x）＜0等价于

ln(x+1)

x+1

-

x

(x+1) x+1

＜0．
不妨设

x+1

=t 则x=t²-1（t＞1）．
于是不等式等价于2tlnt＜t²-1．
设F（t）=2tlnt-t²+1
则F'（t）=2+lnt-2t
当t＞1时，F'（x）＜0，F（x）单调递减．
所以F（t）＜f（1）=0．
也就等价于f（x）＜g（x）恒成立（当x=1时等号成立）．

点评：本题考查了利用导数求函数在闭区间上的最值，考查了数学转化思想方法，训练了构造函数法，此类问题在考题中常以压轴题的形式出现，是难题．