Question

在图的几何体中，面ABC∥面DEFG，∠BAC=∠EDG=120°，四边形ABED是矩形，四边形ADGC是直角梯形，∠ADG=90°，四边形DEFG是梯形，EF∥DG，AB=AC=AD=EF=1，DG=2．
（1）求证：FG⊥面ADF；
（2）求四面体CDFG的体积．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,直线与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）首先，作DG的中点为H，证明四边形DEFH为平行四边形，然后，得到AD⊥平面EDGF，从而得证；
（2）先证明CO⊥平面EDGF，（取DG的中点为O），得到△DEF正三角形，然后，结合四面体CDFG的体积V=

1

3

S_△DFG•CO进行求解．

解答： 解：（1）连接DF，AF，作DG的中点为H，连接EH，
∵EF∥DK，EF=DH=ED=1，
∴四边形DEFH为菱形，
∴EF∥HG，EF=HG，
∴四边形DEFH为平行四边形，
∴FG∥EH，
∴FG⊥DF，
∵∠ADG=90°，AD⊥DG，AD⊥ED，
∴AD⊥平面EDGF，
∴AD⊥FG，
∵FG⊥DF，AD∩DF=D，
∴FG⊥面ADF；
（2）取DG的中点为O，连接FO，CO，FD，
∵DO∥AC，DO=AC，
∴ADOC平行四边形，
∴CO∥AD，CO=AD=1，
根据（1）知，AD⊥平面EDGF，
∴CO⊥平面EDGF，
∴ED=EF=1，∠DEF=60°，
∴△DEF正三角形，
∴DF=1，∠FDG=60°，
∴S_△DFG=

1

2

•DF•DG•sin∠FDG=

3

2

，
∴四面体CDFG的体积V=

1

3

S_△DFG•CO=

1

3

×

3

2

×1=

3

6

．

点评：本题重点考查了空间中平行关系和垂直关系的判断方法、空间几何体的体积求解等知识，属于中档题．