Question

已知函数f（x）满足2f（x+2）=f（x），当x∈（0，2）时，f（x）=lnx+ax（a＜-

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），当x∈（-4，-2）时，f（x）的最大值为-4．求x∈（0，2）时f（x）的解析式．

Answer 1

考点：函数解析式的求解及常用方法

专题：函数的性质及应用

分析：由已知得：f（x）=2f（x+2）=4f（x+4），设x∈（-4，-2）时，则x+4∈（0，2），代入x∈（0，2）时，f（x）=lnx+ax（a＜-

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），求出f（x+4）=ln（x+4）+a（x+4），再根据当x∈（-4，-2）时，f（x）的最大值为-4，利用导数求得它的最大值，解方程即可求得a的值，进而求得结论；

解答： 解：由已知得：f（x）=2f（x+2）=4f（x+4），
∵x∈（0，2）时，f（x）=lnx+ax（a＜-

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），设x∈（-4，-2）时，则x+4∈（0，2），
∴f（x+4）=ln（x+4）+a（x+4）
∴x∈（-4，-2）时，f（x）=4f（x+4）=4ln（x+4）+4a（x+4）
f′(x)=

4

x+4

+4a=4a•

x+4+ 1 a

x+4

，
∵a＜-

1

2

，
∴-4＜-

1

a

-4＜-2
∴当x∈(-4，-

1

a

-4)时，f′（x）＞0，f（x）为增函数，
当x∈(-

1

a

-4，2)时，f′（x）＜0，f（x）为减函数，
当x=-

1

a

-4时，f（x）有最大值4ln(-

1

a

)+a(-

1

a

)
4ln(-

1

a

)+a(-

1

a

)=-4，
解得a=-1
∴当x∈（0，2）时，f（x）=lnx-x

点评：此题是个难题．考查函数解析式的求法以及函数恒成立问题，体现了转化和分类讨论的思想方法，其中问题（2）是一个开放性问题，考查了同学们观察、推理以及创造性地分析问题、解决问题的能力．