Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F。

（Ⅰ）证明：PA∥平面EDB；
（Ⅱ）证明：PB⊥平面DEF。

Answer 1

（Ⅰ）证明：连结AC，AC交BD于O，连结EO， ∵底面ABCD是正方形， ∴点O是AC的中点， 在中，EO是中位线， ∴PA∥EO， 而EO平面EDB且PA平面EDB， 所以，PA∥平面EDB。 （Ⅱ）证明：∵PD⊥底面ABCD且DC底面ABCD， ∴， ∵PD=DC， 可知是等腰直角三角形，而DE是斜边PC的中线， ∴，                       ① 同理：由PD⊥底面ABCD，得PD⊥BC， ∵底面ABCD是正方形，有DC⊥BC， ∴BC⊥平面PDC， 而DE平面PDC， ∴，                      ② 由①和②推得平面PBC， 而PB平面PBC， ∴， 又且， 所以PB⊥平面EFD。