Question

已知椭圆：（）过点，且椭圆的离心率为．

（1）求椭圆的方程；

（2）若动点在直线上，过作直线交椭圆于两点，且为线段中点，再过作直线．求直线是否恒过定点，如果是则求出该定点的坐标，不是请说明理由。

 

Answer 1

（1）；（2）直线恒过定点．

【解析】

试题分析：本题主要考查椭圆的标准方程以及几何性质、直线的标准方程、直线与椭圆的位置关系、韦达定理等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力．第一问，利用点在椭圆上和离心率得到方程组，解出a和b的值，从而得到椭圆的标准方程；第二问，需要对直线MN的斜率是否存在进行讨论，（ⅰ）若存在点P在MN上，设出直线MN的方程，由于直线MN与椭圆相交，所以两方程联立，得到两根之和，结合中点坐标公式，得到直线MN的斜率，由于直线MN与直线垂直，从而得到直线的斜率，因为直线也过点P，写出直线的方程，经过整理，即可求出定点，（ⅱ）若直线MN的斜率不存在，则直线MN即为，而直线为x轴，经验证直线，也过上述定点，所以综上所述，有定点．

（1）因为点在椭圆上，所以， 所以， 1分

因为椭圆的离心率为，所以，即， 2分

解得， 所以椭圆的方程为． 4分

（2）设，，

①当直线的斜率存在时，设直线的方程为，，，

由得，

所以， 因为为中点，所以，即．

所以， 8分

因为直线，所以，所以直线的方程为，

即 ，显然直线恒过定点． 10分

②当直线的斜率不存在时，直线的方程为，此时直线为轴，也过点．

综上所述直线恒过定点． 12分

考点：椭圆的标准方程以及几何性质、直线的标准方程、直线与椭圆的位置关系、韦达定理．