Question

11．关于x的不等式x²+2x+a≥0在x∈[-2，3]上的解集非空，则a∈[-15，+∞）．

Answer 1

分析 不等式x²+2x+a≥0在区间[-2，3]上的解集非空等价于a≥（-x²-2x）在x∈[-2，3]时的最小值，
求出f（x）=-x²-2x，在x∈[-2，3]上的最小值即可．

解答 解：关于x的不等式x²+2x+a≥0在区间[-2，3]上的解集非空，
∴a≥-x²-2x，在x∈[-2，3]时成立；
设函数f（x）=-x²-2x，则f（x）在x∈[-2，3]上先单调递增，后单调递减，
∴当x=-2时，函数f（-2）=0，x=3时，f（3）=-15；
f（x）的最小值是-15；
∴实数a的取值范围为[-15，+∞）．
故答案为：[-15，+∞）．

点评 本题考查了转化思想的应用问题，也考查了二次函数在某一闭区间上最值的应用问题，是基础题目．