Question

15．求证：cos⁸2α-sin⁸2α=cos4α（1-$\frac{1}{2}$sin²4α）

Answer 1

分析 证明过程中要降幂降角的倍数，前两项先用平方差公式，把八次方降低为四次方，同时要注意约分化简，多次用的同角的三角函数关系，二倍角公式，证明的方法有多种，可采用分析法、综合法．

解答 证明：（分析法）
要证cos⁸2α-sin⁸2α=cos4α（1-$\frac{1}{2}$sin²4α）成立，
只要证（cos⁴2α+sin⁴2α）（cos²2α-sin²2α）=cos4α-$\frac{1}{2}$sin²4α•cos4α成立，
只要证cos4α（cos⁴2α+sin⁴2α）=cos4α-$\frac{1}{2}$sin²4α•cos4α成立，
只要证cos⁴2α+sin⁴2α=1-$\frac{1}{2}$sin²4α成立，
只要证cos⁴2α+sin⁴2α=1-2sin²2αcos²2α成立，
只要证cos⁴2α+sin⁴2α+2sin²2αcos²2α=1成立，
只要证（cos²2α+sin²2α）²=1成立，
由sin²α+cos²α=1，
而此式恒成立，
所以原式得证．

点评 此题考查了降幂公式，二倍角公式，平方差公式，同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握相关公式及应用是解本题的关键，属于中档题．