Question

20．f（x）=sinx，g（x）=-9（$\frac{x}{π}$）²+9（$\frac{x}{π}$）-$\frac{3}{4}$，x∈[0，2π]，则使g（x）≥f（x）的x值的范围是[$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$]．

Answer 1

分析 求得g（x）的对称轴，求得顶点坐标，求f（x）的顶点坐标，再由g（x）=f（x）的解，可得所求x的范围．

解答 解：当x∈[0，2π]，
g（x）=-9（$\frac{x}{π}$）²+9（$\frac{x}{π}$）-$\frac{3}{4}$的对称轴为$\frac{x}{π}$=$\frac{1}{2}$，
即有x=$\frac{1}{2}$π，此时g（x）=-9×$\frac{1}{4}$+9×$\frac{1}{2}$-$\frac{3}{4}$=$\frac{3}{2}$，
当x=$\frac{1}{2}$π，此时f（x）=sinx=1．
由sinx=-9（$\frac{x}{π}$）²+9（$\frac{x}{π}$）-$\frac{3}{4}$，x∈[0，2π]，
可得x₁=$\frac{π}{6}$，x₂=$\frac{5π}{6}$，
由于点（$\frac{π}{2}$，$\frac{3}{2}$）在点（$\frac{π}{2}$，$\frac{1}{2}$）上，
则当$\frac{π}{6}$≤x≤$\frac{5π}{6}$时，g（x）≥f（x）．
故答案为：[$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$]．

点评 本题考查正弦函数和二次函数的图象和性质，考查对称性的运用，考查不等式的解法，属于中档题．