Question

已知函数f（x）=log_a[（3-a）x+a+1]在[1，2]上是减函数，则实数a的范围是________．

Answer 1

0＜a＜1或3＜a＜7
分析：先将复合函数f（x）=log_a[（3-a）x+a+1]的结构剖析出来，它是由t=（3-a）x+a+1，y=log_at复合而成．再分别分析两个简单函数的单调性，根据复合函数法则进行判断单调性，从而求得实数a的范围．
解答：原函数是由简单函数t=（3-a）x+a+1和y=log_at共同复合而成．
①a＞1，∴y=log_at为定义域上增函数，
而由复合函数法则和题意得到，
t=（3-a）x+a+1在定义域上为减函数，∴3-a＜0
又函数t=（3-a）x+a+1＞0在[1，2]上恒成立，则2（3-a）+a+1＞0即可．
∴3＜a＜7．
②0＜a＜1，∴y=log_at为定义域上减函数，
而由复合函数法则和题意得到，
t=（3-a）x+a+1在定义域上为增函数，∴3-a＞0
又函数t=（3-a）x+a+1＞0在[1，2]上恒成立，则（3-a）+a+1＞00即可．
∴0＜a＜1．
综上，0＜a＜1或3＜a＜7，
故答案为0＜a＜1或3＜a＜7．
点评：本题主要考查了对数函数的单调性与特殊点，要掌握复合函数的单调性的判定方法：同增异减．属于基础题．