Question

12．已知向量$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角为120°，且|$\overrightarrow{a}$|=4，|$\overrightarrow{b}$|=2，求：
（1）（2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$）•（$\overrightarrow{a}$+3$\overrightarrow{b}$）； 
（2）|2$\overrightarrow{a}$-3$\overrightarrow{b}$|；
（3）向量2$\overrightarrow{a}$在向量$\overrightarrow{b}$方向上正摄影的数量．

Answer 1

分析 由题意可得${\overrightarrow{a}}^{2}$=16，${\overrightarrow{b}}^{2}$=4，$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=-4，从而求得（2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$）•（$\overrightarrow{a}$+3$\overrightarrow{b}$）、|2$\overrightarrow{a}$-3$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{{（2\overrightarrow{a}-3\overrightarrow{b}）}^{2}}$的值，向量2$\overrightarrow{a}$在向量$\overrightarrow{b}$方向上正摄影的数量|2×|$\overrightarrow{a}$|×cos120°|的值．

解答 解：∵向量$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角为120°，且|$\overrightarrow{a}$|=4，|$\overrightarrow{b}$|=2，∴${\overrightarrow{a}}^{2}$=16，${\overrightarrow{b}}^{2}$=4，
$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=4×2×cos120°=-4，
∴（1）（2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$）•（$\overrightarrow{a}$+3$\overrightarrow{b}$）=2${\overrightarrow{a}}^{2}$+5$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$-3${\overrightarrow{b}}^{2}$=32-20+3×4=24．
（2）|2$\overrightarrow{a}$-3$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{{（2\overrightarrow{a}-3\overrightarrow{b}）}^{2}}$=$\sqrt{{4\overrightarrow{a}}^{2}-12\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}+{9\overrightarrow{b}}^{2}}$=$\sqrt{4×16-12×（-4）+9×4}$
=$\sqrt{148}$=2$\sqrt{37}$．
（3）向量2$\overrightarrow{a}$在向量$\overrightarrow{b}$方向上正摄影的数量为|2×4×cos120°|=4．

点评 本题主要考查两个向量的数量积的运算，求向量的模，属于基础题．