Question

2．已知二次函数y=f（x）在（-∞，2]上是增函数，在[2，+∞）上是减函数，图象的顶点在直线y=x-1上，并且图象经过点（-1，-8）．
（1）求二次函数y=f（x）的解析式；
（2）若f（x）+m＜0对x∈R恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由已知设二次函数的顶点式为y=a（x-2）²+1，将点（-1，-8）代入代入求出a值，可得二次函数y=f（x）的解析式；
（2）若f（x）+m＜0对x∈R恒成立，m＜-f（x）对x∈R恒成立，求最小值，即可求实数m的取值范围．

解答 解：（1）∵二次函数y=f（x）在（-∞，2]上是增函数，在[2，+∞）上是减函数，
∴对称轴为直线x=2，
∵图象的顶点在直线y=x-1上，
∴顶点坐标为（2，1），
设二次函数的关系式为：y=a（x-2）²+1，
将点（-1，-8）代入得：a=-1
∴二次函数的关系式为：y=-（x-2）²+1；
（2）∵f（x）+m＜0对x∈R恒成立，
∴m＜-f（x）对x∈R恒成立，
∵-f（x）=（x-2）²-1≥-1，
∴m＜-1．

点评 本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解答的关键．