Question

在棱长为a的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分别为棱AB和BC的中点，EF与BD交于点G．
（1）求二面角B₁-EF-B的正切值；
（2）M为棱BB₁上的一点，当

B1M

MB

的值为多少时能使D₁M⊥平面EFB₁？试给出证明．

Answer 1

（1）在底面ABCD中，∵AC⊥BD，EF∥AC，∴BG⊥EF，连接B₁G．
又∵BB₁⊥ABCD，∴B₁G⊥EF．
则∠B₁GB是二面角B₁-EF-B的平面角，BG=

1

4

BD=

2

4

a，
tan∠B1GB=

B1B

BG

=2

2

．
（2）当

B1M

MB

=1时满足题意．
证明：D₁A₁⊥面AB₁，知D₁M在面AB₁的射影是A₁M，
∵△A₁MB≌△B₁EB，∴A₁M⊥B₁E，即D₁M⊥B₁E．
因为DD₁⊥平面ABCD，所以BD为D₁M在平面ABCD内射影，
连接AC，因为E、F为中点，所以AC∥EF，
又因为BD⊥EF，所以D₁M⊥EF．又因为B₁E∩EF=E．
∴D₁M⊥平面EFB₁