Question

7．若（x+$\frac{2}{x}$）ⁿ的展开式所有的系数之和为81，则直线y=nx与曲线y=x²所围成的封闭区域面积为$\frac{32}{3}$．

Answer 1

分析 先确定n的值，再求出直线y=nx与曲线y=x²交点坐标，利用定积分求得直线y=nx与曲线y=x²围成图形的面积．

解答 解：∵（x+$\frac{2}{x}$）ⁿ的展开式所有的系数之和为81，
∴3ⁿ=81，解得n=4；
∴由直线y=4x与曲线y=x²，
可得交点坐标为（0，0），（4，16），
所以直线y=4x与曲线y=x²围成的封闭区域面积为：
${∫}_{0}^{4}$（4x-x²）dx=（2x²-$\frac{1}{3}$x³）${|}_{0}^{4}$=$\frac{32}{3}$．
故答案为$\frac{32}{3}$．

点评 本题主要考查了二项式定理的应用，利用定积分求曲边形的面积，属于基础题．