Question

5．已知函数f（x）=λcos²（ωx+$\frac{π}{6}$）-3（λ＞0，ω＞0）的最大值为2，最小正周期为$\frac{2π}{3}$．
（1）求函数y=f（x）的解析式；
（2）当x∈[0，$\frac{π}{2}$]时，求函数f（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）利用二倍角的余弦函数公式化简可得f（x）=$\frac{λ}{2}$cos（2ωx+$\frac{π}{3}$）+$\frac{λ}{2}$-3，利用最大值为2，可得$\frac{λ}{2}$+$\frac{λ}{2}$-3=2，解得λ，利用周期公式可求ω，即可得解函数y=f（x）的解析式；
（2）由x的范围，可求范围$3x+\frac{π}{3}∈[{\frac{π}{3}，\frac{11π}{6}}]$，利用余弦函数的性质可得函数f（x）的值域．

解答 （本题满分为14分）
解：（1）∵f（x）=λcos²（ωx+$\frac{π}{6}$）-3（λ＞0，ω＞0）
=λ$\frac{1+cos（2ωx+\frac{π}{3}）}{2}$-3
=$\frac{λ}{2}$cos（2ωx+$\frac{π}{3}$）+$\frac{λ}{2}$-3，…（2分）
又∵函数f（x）的最大值为2，可得：$\frac{λ}{2}$+$\frac{λ}{2}$-3=2，解得：λ=5，
最小正周期为$\frac{2π}{3}$=$\frac{2π}{2ω}$，解得：ω=$\frac{3}{2}$，
∴f（x）=$\frac{5}{2}$cos（3x+$\frac{π}{3}$）-$\frac{1}{2}$…（6分）
（2）∵$x∈[{0，\frac{π}{2}}]$，
∴$3x+\frac{π}{3}∈[{\frac{π}{3}，\frac{11π}{6}}]$，…（9分）
∴$cos（3x+\frac{π}{3}）∈[{-1，\frac{{\sqrt{3}}}{2}}]$，…（13分）
∴$f（x）∈[{-3，\frac{{5\sqrt{3}-2}}{4}}]$，
所以f（x）的值域是$[{-3，\frac{{5\sqrt{3}-2}}{4}}]$．…（14分）

点评 本题主要考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，余弦函数的图象和性质，考查了转化思想和数形结合思想，属于基础题．