Question

13．已知函数f（x）=$\sqrt{3}$sinxcosx-cos²x-$\frac{1}{2}$．
（1）求函数y=f（x）在[0，$\frac{π}{2}$]上的最大值和最小值；
（2）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足c=2，a=3，f（B）=0，求sinA的值．

Answer 1

分析 （1）由已知利用三角函数恒等变换的应用化简可得f（x）=sin（2x-$\frac{π}{6}$）-1，结合x的范围，可求$2x-\frac{π}{6}∈[-\frac{π}{6}，\frac{5π}{6}]$，利用正弦函数的性质可求函数y=f（x）在[0，$\frac{π}{2}$]上的最大值和最小值．
（2）由已知可求sin（2B-$\frac{π}{6}$）=1，结合B的范围，可求2B-$\frac{π}{6}$∈（-$\frac{π}{6}$，$\frac{11π}{6}$），可求B的值，利用余弦定理可求AC的值，进而利用正弦定理即可得解sinA的值．

解答 解：（1）∵$f（x）=\sqrt{3}sinxcosx-{cos^2}x-\frac{1}{2}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}sin2x-\frac{1}{2}cosx-1=sin（2x-\frac{π}{6}）-1$，
∵$x∈[0，\frac{π}{2}]$，
∴$2x-\frac{π}{6}∈[-\frac{π}{6}，\frac{5π}{6}]$，
∴$sin（2x-\frac{π}{6}）∈[-\frac{1}{2}，1]$，
∴$f（x）∈[-\frac{3}{2}，0]$，
∴y=f（x）的最大值为0，最小值为$-\frac{3}{2}$．
（2）∵f（B）=0，即sin（2B-$\frac{π}{6}$）=1，
又∵B∈（0，π），2B-$\frac{π}{6}$∈（-$\frac{π}{6}$，$\frac{11π}{6}$），
∴2B-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$，可得：B=$\frac{π}{3}$，
又∵在△ABC中，由余弦定理可得：b²=a²+c²-2accos$\frac{π}{3}$=4+9-2×$2×3×\frac{1}{2}$=7，
∴AC=$\sqrt{7}$，
∵由正弦定理得：$\frac{b}{sinB}=\frac{a}{sinA}$，即$\frac{{\sqrt{7}}}{{sin\frac{π}{3}}}=\frac{3}{sinA}$，
∴$sinA=\frac{{3\sqrt{21}}}{14}$．

点评 本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，正弦函数的性质，余弦定理，正弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想和数形结合思想，属于中档题．