Question

已知函数f（x）=lg

1+x

1-x

（Ⅰ）求证：对于f（x）的定义域内的任意两个实数a，b，都有f（a）+f（b）=f（

a+b

1+ab

）；
（Ⅱ）判断f（x）的奇偶性，并予以证明．

Answer 1

分析：（I）将a与b代入函数f（x）=lg

1+x

1-x

，求出f（a）+f（b）的值，然后计算出f（

a+b

1+ab

）的值，从而证得结论；
（II）先求函数的定义域，然后判定f（-x）与-f（x）的关系，根据函数奇偶性的定义进行判定即可．

解答：解：（I）证明：∵f（x）=lg

1+x

1-x

∴f（a）+f（b）=lg

1+a

1-a

+lg

1+b

1-b

=lg(

1+a

1-a

×

1+b

1-b

)=lg

1+a+b+ab

1-a-b+ab

f（

a+b

1+ab

）=lg

1+ a+b 1+ab

1- a+b 1+ab

=lg

1+a+b+ab

1-a-b+ab

∴对于f（x）的定义域内的任意两个实数a，b，都有f（a）+f（b）=f（

a+b

1+ab

）；
（II）函数f（x）=lg

1+x

1-x

的定义域为（-1，1）
∵f（-x）=lg

1-x

1+x

=lg(

1+x

1-x

)-1=-lg

1+x

1-x

=-f（x）
∴函数f（x）是奇函数．

点评：本题主要考查了函数奇偶性的判断，以及函数值的求解，同时考查了计算能力，属于中档题．