Question

【题目】已知抛物线的焦点为是抛物线上的任意一点.当轴时，的面积为4（为坐标原点）.

（1）求抛物线的方程；

（2）若，连接并延长交抛物线于，点关于轴对称，点为直线与轴的交点，且为直角三角形，求点到直线的距离的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

(1)由条件有，，则由的面积为4，可得出答案.
(2) ，，则,设直线的方程为,与抛物线方程联立，写出韦达定理，利用三点共线结合韦达定理得出，为直角三角形，所以直线的斜率，所以，得.因为，所以，则点到直线的距离，，然后求其范围即可.

（1）因为为抛物线的焦点，所以，所以.

因为轴，所以，所以.

因为的面积为4，所以，且，所以，

故抛物线的方程为；

（2）设直线的方程为，，，则.

联立，整理得.

因为，所以，.

设，则，.

因为三点共线，所以，

所以.

所以.

因为，，所以.

因为点关于轴对称，所以，

因为为直角三角形，所以，

所以直线的斜率，所以.

由，得.

因为，所以，因为，所以，

则点到直线的距离.

设，则，且，

故

因为在上单调递减，所以.