Question

已知抛物线x²=4y的焦点为F，过F任作直线l（l与x轴不平行）交抛物线分别于A，B两点，点A关于y轴对称点为C，
（1）求证：直线BC与y轴交点D必为定点；
（2）过A，B分别作抛物线的切线，两条切线交于E，求

|AB|

|DE|

的最小值，并求当

|AB|

|DE|

取最小值时直线l的方程．

Answer 1

分析：（1）设出直线l的方程，和抛物线方程联立后得到关于x的一元二次方程，利用根与系数关系得到两个交点A，B的横坐标的和与积，由对称性得到A关于y轴的对称点C，写出直线BC的方程后由线系方程可证过定点；
（2）求出函数的导函数，写出过A，B的切线方程，把两切线方程分别作差和作和后求出两切线焦点的纵坐标，则|DE|可求，由弦长公式求出|AB|，作比后利用基本不等式求最值，并求出

|AB|

|DE|

取最小值时直线l的方程．

解答：（1）证明：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∵抛物线y=

x2

4

的焦点为F（0，1），
∴可设直线l的方程为：y=kx+1（k≠0）．
联立

y=kx+1 y= x2 4

，消去y并整理得：x²-4kx-4=0
所以x₁+x₂=4k，x₁x₂=-4
由对称性知C（-x₁，y₁），kCB=

y2-y1

x2+x1

=

x22-x12

4(x2+x1)

=

x2-x1

4

直线BC的方程为y-

x22

4

=

x2-x1

4

(x-x2)，即y=

x2-x1

4

x+

x1x2

4

=

x2-x1

4

x-1
∴直线BC与y轴交于定点D（0，-1）
（2）f′(x)=

x

2

，∴过点A的切线方程为：y-

x12

4

=

x1

2

(x-x1)
即：y=

x1

2

x-

x12

4

①，同理可得过点B的切线方程为：
y=

x2

2

x-

x22

4

②
①-②得：

1

2

(x1-x2)x-

1

4

(x12-x22)=0（x₁≠x₂）
∴x=

x1+x2

2

=2k
①+②得：2y=

x1+x2

2

x-

x12+x22

4

=

x1+x2

2

x-

x12+x22

4

=

x1+x2

2

x-

(x1+x2)2-2x1x2

4

=4k2-

16k2+8

4

=-2．
∴y=-1．
∴E（2k，-1），|DE|=2|k|
|AB|=

k2+1

|x1-x2|=

k2+1

(x1+x2)2-4x1x2

=4(k2+1)
∴

|AB|

|DE|

=

4(k2+1)

2|k|

=2(|k|+

1

|k|

)≥4，取等号时，k=±1，
直线l的方程为：y=x+1或y=-x+1．

点评：本题主要考查抛物线的定义和直线与曲线的相切问题，解决此类问题的必须熟悉曲线的定义和曲线的图形特征，考查抛物线的应用，关键是看清题中给出的条件，灵活运用韦达定理，中点坐标公式进行求解．这也是高考常考的知识点，该题是难题．