Question

11．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，且满足 2acosC=2b-c．
（1）求sinA的值；
（2）若a=1，求△ABC的周长l的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由题意和正弦定理以及和差角的三角函数公式可得cosA=$\frac{1}{2}$，进而可得sinA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$；
（2）由（1）可得a=1，sinA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，A=$\frac{π}{3}$，结合正弦定理可得l=1+$\frac{2}{\sqrt{3}}$sinB+$\frac{2}{\sqrt{3}}$sinC=1+2sin（B+$\frac{π}{6}$），由B∈（0，$\frac{2π}{3}$）和三角函数的值域可得．

解答 解：（1）由题意可得2acosC=2b-c，
结合正弦定理可得 2sinAcosC=2sinB-sinC，
∴2sinAcosC=2sin（A+C）-sinC，
∴2sinAcosC=2sinAcosC+2cosAsinC-sinC，
∴2cosAsinC=sinC，即cosA=$\frac{1}{2}$，
∴sinA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$；
（2）由（1）可得a=1，sinA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，A=$\frac{π}{3}$，
∴b=$\frac{asinB}{sinA}$=$\frac{2}{\sqrt{3}}$sinB，同理可得c=$\frac{2}{\sqrt{3}}$sinC，
∴△ABC的周长l=1+$\frac{2}{\sqrt{3}}$sinB+$\frac{2}{\sqrt{3}}$sinC
=1+$\frac{2}{\sqrt{3}}$sinB+$\frac{2}{\sqrt{3}}$sin（$\frac{2π}{3}$-B）
=1+$\frac{2}{\sqrt{3}}$（sinB+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosB+$\frac{1}{2}$sinB）
=1+$\frac{2}{\sqrt{3}}$（$\frac{3}{2}$sinB+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosB）
=1+2sin（B+$\frac{π}{6}$），
∴B∈（0，$\frac{2π}{3}$），∴B+$\frac{π}{6}$∈（$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$），
∴sin（B+$\frac{π}{6}$）∈（$\frac{1}{2}$，1]，
∴2sin（B+$\frac{π}{6}$）∈（1，2]，
∴1+2sin（B+$\frac{π}{6}$）∈（2，3]，
∴△ABC的周长l的取值范围为（2，3]．

点评 本题考查解三角形，涉及正余弦定理和和差角的三角函数，属中档题．