Question

1．已知椭圆$\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{12}$=1，直线l：y=x+m，且直线l与椭圆交于A、B两不同点．
（1）求m的取值范围；
（2）若m=2，求弦AB长．

Answer 1

分析 （1）通过直线l与椭圆交于A、B两不同点可知联立椭圆与直线方程后的一元二次方程中的根的判别式大于零，进而计算可得结论；
（2）通过m=2代入直线方程并与椭圆方程联立，消去y后利用韦达定理可知x_A+x_B=-$\frac{16}{7}$、x_Ax_B=-$\frac{32}{7}$，进而利用两点间距离公式计算即得结论．

解答 解：（1）∵椭圆$\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{12}$=1，直线l：y=x+m，
∴椭圆$\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{（x+m）^{2}}{12}$=1，
化简得：7x²+8mx+4m²-48=0，
∵直线l与椭圆交于A、B两不同点，
∴△=64m²-7×16×（m²-12）＞0，
解得：-$2\sqrt{7}$＜m＜$2\sqrt{7}$；
（2）若m=2，联立直线l与椭圆方程，
化简得：7x²+16x-32=0，
∴x_A+x_B=-$\frac{16}{7}$，x_Ax_B=-$\frac{32}{7}$，
∴弦AB长为$\sqrt{（{x}_{A}-{x}_{B}）^{2}+（{y}_{A}-{y}_{B}）^{2}}$
=$\sqrt{2}$•$\sqrt{（{x}_{A}+{x}_{B}）^{2}-4{x}_{A}{x}_{B}}$
=$\sqrt{2}$•$\sqrt{（-\frac{16}{7}）^{2}-4×（-\frac{32}{7}）}$
=$\frac{48}{7}$．

点评 本题考查椭圆的简单性质，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．