Question

6．设函数f（x）是定义在（-3，3）上的增函数，对于任意x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y）
（1）求f（0）；
（2）证明f（x）是奇函数；
（3）解不等式$\frac{1}{2}$f（x+2）-f（x）＞$\frac{1}{2}$f（3x）．

Answer 1

分析 （1）根据题意，用特殊值法，令x=y=0，可得f（0+0）=f（0）+f（0），计算可得答案；
（2）在f（x+y）=f（x）+f（y）中，令y=-x，可得f（x-x）=f（x）+f（-x），进而由（1）的结论，可得f（-x）=-f（x），考虑f（x）的定义域，可得答案；
（3）证明函数f（x）在[-3，3]上是增函数．$\frac{1}{2}$f（x+2）-f（x）＞$\frac{1}{2}$f（3x），可化为f（x+2）＞f（5x），即可得出结论．

解答 （1）解：根据题意，在f（x+y）=f（x）+f（y）中，
令x=y=0，则f（0+0）=f（0）+f（0），
∴f（0）=0．
（2）证明：令y=-x，则f（x-x）=f（x）+f（-x），即f（x）+f（-x）=f（0）=0，
∴f（-x）=-f（x），
又x∈[-3，3]，其定义域关于原点对称，
∴f（x）是奇函数．
（3）解：设x₁，x₂∈[-3，3]，且x₁＜x₂，则x₂-x₁＞0．
∵x＞0时，有f（x）＞0，∴f（x₂-x₁）＞0，
又∵f（x₂-x₁）=f（x₂）+f（-x₁）=f（x₂）-f（x₁），
∴f（x₂）-f（x₁）＞0，即f（x₂）＞f（x₁），
即f（x₁）＜f（x₂），
∴函数f（x）在[-3，3]上是增函数．
$\frac{1}{2}$f（x+2）-f（x）＞$\frac{1}{2}$f（3x），可化为f（x+2）＞f（5x），
∴-3≤5x＜x+2≤3，
∴-$\frac{3}{5}$≤x＜$\frac{1}{2}$．
∴不等式的解集为{x|-$\frac{3}{5}$≤x＜$\frac{1}{2}$}．

点评 本题考查抽象函数的应用，涉及函数奇偶性、单调性的判断，解此类题目，注意特殊值法的运用．