Question

已知f（x）=2^x-

a

2x

（1）当a∈R，求f（x）在[-2，2]的最小值；
（2）当a=1，2^tf（2t）-mf（t）+2^-t≥0恒成立，求m的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（1）令2^x=t，由x∈[-2，2]，可得t∈[

1

4

，4]．令g（t）=f（x）=t-

a

t

.t∈[

1

4

，4]．通过对a分类讨论，利用导数研究其单调性即可；
（2）当a=1，2^tf（2t）-mf（t）+2^-t≥0化为m（4^t-1）≤4^2t，通过对t分类讨论，利用基本不等式的性质即可得出．

解答： 解：（1）令2^x=t，∵x∈[-2，2]，∴2x∈[

1

4

，4]，即t∈[

1

4

，4]．
令g（t）=f（x）=t-

a

t

.t∈[

1

4

，4]．
则g′(t)=1+

a

t2

．
当a≥0时，g′（t）＞0，∴函数g（t）在t∈[

1

4

，4]单调递增，∴当t=

1

4

时，g（t）取得最小值，且g(

1

4

)=

1

4

-4a．
当a＜0时，g′(t)=

t2+a

t2

=

(t+ -a )(t- -a )

t2

，
①当

-a

≥4时，即a≤-16时，g′（t）≤0，函数g（t）在t∈[

1

4

，4]上单调递减，∴当t=4时，函数g（t）取得最小值，g（4）=4-

a

4

．
②当

-a

≤

1

4

时，即-

1

16

≤a＜0时，g′（t）≥0，函数g（t）在t∈[

1

4

，4]上单调递增，∴当t=

1

4

时，函数g（t）取得最小值，g（

1

4

）=

1

4

-4a．
③当

1

4

＜

-a

＜4时，即-16＜a＜-

1

16

时，当

1

4

≤t＜

-a

时，g′（t）＜0，此时函数g（t）单调递减；当

-a

＜t≤4时，g′（t）＞0，此时函数g（t）单调递增．
∴当t=

-a

时，函数g（t）取得最小值，g(

-a

)=2

-a

．
综上可得：f（x）_min=

1 4 -4a，a≥- 1 16 -2a ，-16＜a＜- 1 16 4- a 4 ，a≤-16

．
（2）当a=1，2^tf（2t）-mf（t）+2^-t≥0化为m（4^t-1）≤4^2t，
当t=0时，对于任意实数m恒成立；
当t＜0时，4^t＜1，上式化为m≥

42t

4t-1

，∵

42t

4t-1

=

42t-1+1

4t-1

=4t-1+

1

4t-1

+2=-[(1-4t)+

1

1-4t

]+2＜0，可得m≥0．
当t＞0时，4^t＞1，上式化为m≤

42t

4t-1

，∵

42t

4t-1

=

42t-1+1

4t-1

=4t-1+

1

4t-1

+2≥2

(4t-1)• 1 4t-1

+2=4，当且仅当t=

1

2

时取等号，可得m≤4．
综上可得：0≤m≤4．
即m的取值范围是：[0，4]．

点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、基本不等式的性质，考查了分类讨论的思想方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．