Question

已知等比数列{a_n}各项都是正数，a₁=2，a_n•a_n+1=m•4ⁿ，n∈N^*
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）求证：

a1	a1

•

a2	a2

…

an	an

＜4．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）由an•an+1=m•4n，得到当n≥2时，an-1•an=m•4n-1，两式相除，计算可得公比，再进一步算通项公式．
（Ⅱ）由（Ⅰ），计算

a1	a1

•

a2	a2

•…•

an	an

=2

1

21

•2

2

22

•…•2

n

2n

=2

1

21

+

2

22

+…+

n

2n

，令S=

1

21

+

2

22

+…+

n

2n

，利用错位相乘法计算S得表达式，得到S＜2，从而使不等式得到证明．

解答： 解：（Ⅰ）由an•an+1=m•4n       ①
得，n≥2时，an-1•an=m•4n-1，②

①

②

，得

an+1

an-1

=4，得q²=4，又q＞0，
∴q=2，又a₁=2，
∴a_n=2ⁿ，n∈N^*．
（Ⅱ）

an	an

=an

1

an

=(2n)

1

2n

=2

n

2n

，
∴

a1	a1

•

a2	a2

•…•

an	an

=2

1

21

•2

2

22

•…•2

n

2n

=2

1

21

+

2

22

+…+

n

2n

，
令S=

1

21

+

2

22

+…+

n

2n

，①
则

1

2

S=

1

22

+

2

23

+…+

n-1

2n

+

n

2n+1

      ②
①-②，得

1

2

S=

1

21

+

1

22

+…

1

2n

-

n

2n+1

=1-

1

2n

-

n

2n+1

＜1，
∴S＜2，
∴

a1	a1

•

a2	a2

•…•

an	an

=2^S＜2²=4．

点评：数列是高考题中的常见题型，本题的考查涉及到迭代的方法和错位相乘法，这两种方法是数列中经常考查的方法，除此之外，在数列求和时还有倒序相加法，分组求和法，裂项相消法，构造等比、等差数列法等等．