Question

如图，四边形ABCD为矩形，四边形ADEF为梯形，FE

∥ .

.

1

2

AD，∠AFE=60°，且平面ABCD⊥平面ADEF，AF=FE=AB=2，点G为AC的中点．
（Ⅰ）求证：EG∥平面ABF；
（Ⅱ）求三棱锥B-AEG的体积．

Answer 1

考点：直线与平面平行的判定,棱柱、棱锥、棱台的体积

专题：空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）取AB的中点M，连FM，GM，先证明出四边形GMFE为平行四边形，进而推断出EG∥FM，最后由线面平行的判定定理证明出EG∥平面ABF．
（Ⅱ）先作出三棱锥的高EN，通过证明出∠EAD=60°，求得AE，然后求得三角形BAG的面积，最后根据棱锥体积公式求得答案．

解答： （Ⅰ）证明：取AB的中点M，连FM，GM，
∵G为对角线AC的中点，
∴GM∥AD，且GM=

1

2

AD，
∵EF∥AD，

∴MG∥EF，且EF=GM，
∴四边形GMFE为平行四边形，
∴EG∥FM，
∴EG∥平面ABF．
（Ⅱ）作EN⊥AD，垂足为N，
由平面ABCD⊥面AEFD，面ABCD∩面AEFD=AD，
∴EN⊥面ABCD，即EN为三棱锥E-ABG的高，
∵在△AEF中，AF=FB，∠AFE=60°，
∴△AEF是正三角形，
∴∠AEF=60°，
由EF∥AD，知∠EAD=60°，
∴EN=AE•sin60°=

3

，
MG=

1

2

AD=EF=2，
∴S_△ABG=

1

2

×2×2=2，
∴三棱锥B-AEG的体积为：

1

3

×2×

3

=

2 3

3

．

点评：本题主要考查了线面平行和线面垂直的判定定理的应用，棱锥体积的计算公式．考查了学生综合的观察能力和思维能力．