Question

如图，四棱锥P-ABCD的底面是边长为2的正方形，PD⊥平面ABCD，PD=2，E为AB的中点．
（1）求证：直线BC⊥平面PDC；
（2）求点E到平面PBC的距离．

Answer 1

考点：点、线、面间的距离计算,直线与平面垂直的判定

专题：综合题,空间位置关系与距离

分析：（1）证明BC垂直于平面PCD内的两条相交直线PD 和CD，可得BC⊥平面PCD；
（2）利用等体积可求点E到平面PBC的距离．

解答： （1）证明：∵PD⊥平面ABCD，∴PD⊥BC，∵ABCD是边长为2的正方形，∴BC⊥CD．
这样，BC垂直于平面PCD内的两条相交直线PD和CD，∴BC⊥平面PCD；
（2）解：由题意，△EBC中，EB=1，BC=2，∴S_△EBC=

1

2

•1•1=1，
△PBC中，PC=

2

，BC=2，∴S_△PBC=

1

2

•

2

•2=

2

，
设点E到平面PBC的距离为h，则
由等体积可得

1

3

•1•2=

1

3

•

2

h，
∴h=

2

．

点评：本题考查证明线面垂直的方法，等体积可求点E到平面PBC的距离，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．