Question

甲、乙两人参加某电视台举办的答题闯关游戏，按照规则：每人从备选的10道题中一次性抽取3道题独立作答，至少答对2道题即闯关成功．已知10道备选题中，甲只能答对其中的6道题，乙答对每道题的概率都是

1

3

．
（Ⅰ）求甲闯关成功的概率；
（Ⅱ）设乙答对题目的个数为X，求X的分布列及数学期望．

Answer 1

考点：离散型随机变量的期望与方差,古典概型及其概率计算公式

专题：概率与统计

分析：（Ⅰ）利用互斥事件概率加法公式能求出甲闯关成功的概率．
（Ⅱ）依题意X～B（3，

1

3

），X可能取的值为0，1，2，3，由此能求出X的分布列及数学期望．

解答： 解：（Ⅰ）设“甲闯关成功”为事件A，
则甲闯关成功的概率P（A）=

C 2 6 C 1 4 + C 3 6

C 3 10

=

2

3

．…（4分）
（Ⅱ）依题意X～B（3，

1

3

），X可能取的值为0，1，2，3，
P（X=0）=

C

0 3

(1-

1

3

)3=

8

27

，
P（X=1）=

C

1 3

•

1

3

•(1-

1

3

)2=

4

9

，
P（X=2）=

C

2 3

(

1

3

)2(1-

1

3

)=

2

9

，
P（X=3）=

C

3 3

(

1

3

)3=

1

27

，
∴X的分布列为：

X	0	1	2	3
P	8 27	4 9	2 9	1 27

…（10分）
EX=np=3×

1

3

=1．…（12分）

点评：本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，是历年高考的必考题型．