Question

已知函数f（x）=ax²+

1

x

，其中a∈R．
（1）讨论函数f（x）的奇偶性，并证明你的结论；
（2）若函数f（x）在区间[1，+∞）上为增函数，求a的取值范围．

Answer 1

考点：函数奇偶性的判断,函数单调性的判断与证明

专题：综合题,函数的性质及应用

分析：（1）分a=0，a≠0两种情况讨论，利用奇偶性的定义可判断；
（2）函数f（x）在区间[1，+∞）上为增函数，等价于f′（x）≥0在[1，+∞）上恒成立，分离出参数化为函数的最值即可；

解答： 解：（1）当a=0时f（x）为奇函数；当a≠0时f（x）为非奇非偶函数．证明如下：
∵f（x）=ax²+

1

x

，
∴f（-x）=ax²-

1

x

，
当a=0时，f（-x）=-f（x）=-

1

x

，f（x）为奇函数；
当a≠0时，f（-x）≠f（x），且f（-x）≠-f（x），
此时f（x）为非奇非偶函数．
（2）f′（x）=2ax-

1

x2

，
∵f（x）在区间[1，+∞）上为增函数，
∴f′（x）≥0在[1，+∞）上恒成立，即2a≥

1

x3

在[1，+∞）上恒成立，
而

1

x3

在在[1，+∞）上单调递减，∴

1

x3

≤1，
∴2a≥1，解得a≥

1

2

．

点评：该题考查函数的奇偶性、单调性的判断，属基础题，熟记相关定义及其基本判断方法是解题关键．