Question

如图，已知点P是正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的棱CC₁的中点．
（1）求证：平面PAB₁⊥平面ABB₁A₁；
（2）若AB=AA₁，求平面PAB₁与平面ABC所成锐二面角的余弦值．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,平面与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：几何法：
（1）设A₁B∩AB₁=Q，连结PQ．由已知条件推导出PQ⊥AB₁．PQ⊥A₁B．从而得到PQ⊥平面ABB₁A₁．由此能证明平面APB₁⊥平面ABB₁A₁．
（2）设AB=AA₁=2，求出S△APB1=

6

，S_△ABC=

3

，由此能求出平面APB₁与平面ABC所成锐二面角的余弦值．
向量法：
（1）以A为原点建立空间直角坐标系A-xyz，并设AB=a，AA₁=b，由此利用向量法能证明面APB₁⊥面ABB₁A₁．
（2）设a=b=1，分别求出平面APB₁的一个法向量和平面ABC的一个法向量，由此利用向量法能证明平面PAB₁与平面ABC所成锐二面角的余弦值．

解答： 几何法：
（1）证明：设A₁B∩AB₁=Q，连结PQ．
∵P是CC₁的中点，∴AP=B₁P，
又Q是A₁B₁中点，∴PQ⊥AB₁．
同理可证PQ⊥A₁B．∴PQ⊥平面ABB₁A₁．
又PQ?平面APB₁，∴平面APB₁⊥平面ABB₁A₁．
（2）解：不妨设AB=AA₁=2，
则AQ=

2

，PA=

5

，PQ=

3

，
∴S△APB1=

1

2

×AB1×PQ=AQ×PQ=

2

×

3

=

6

．
又S_△ABC=

1

2

×2×2×sin60°=

3

，
∴平面APB₁与平面ABC所成锐二面角的余弦值为

S△ABC

S△APB1

=

3

6

=

2

2

．
向量法：
（1）证明：如图，以A为原点建立空间直角坐标系A-xyz，并设AB=a，AA₁=b
则A（0，0，0），B=(

3 a

2

，

a

2

，0)，
B1=(

3 a

2

，

a

2

，b)P(0，a，

b

2

)．

AB

=(

3 a

2

，

a

2

，0)，

AB1

=(

3 a

2

，

a

2

，b)

AP

=(0，a，

b

2

)．
设向量

m

=(1，x，y)是平面ABB₁的一个法向量，
则

m

•

AB

=(1，x，y)•(

3 a

2

，

a

2

，0)=

3 a

2

+

ax

2

=0，

m

•

AB1

=(1，x，y)•(

3 a

2

，

a

2

，b)=

3 a

2

+

ax

2

+by=0
解得：x=-

3

，y=0，∴

m

=(1，-

3

，0)，
又设

n

=(x0，y0，1)是平面APB₁的一个法向量，
则

n

•

AP

=(x0，y0，1)•(0，a，

b

2

)=ay0+

b

2

=0，

n

•

AB1

=(x0，y0，1)•(

3 a

2

，

a

2

，b)=

3 a

2

x0+

a

2

y0+b=0，
解得x0=-

3 b

2a

，y0=-

b

2a

，∴

n

=(-

3 b

2a

，-

b

2a

，1)，
∴

m

•

n

=(1，-

3

，0)•(-

3 b

2a

，-

b

2a

，1)=0．
∴平面APB₁⊥平面ABB₁A₁．
（2）解：不妨设a=b=1，则平面APB₁的一个法向量

n

=(-

3

2

，-

1

2

，1)．
又平面ABC的一个法向量是

n0

=(0，0，1)，
∵cos＜

n

，

n.0

＞=

n• n0

| n || n0 |

=

1

2 ×1

=

2

2

，
∴平面PAB₁与平面ABC所成锐二面角的余弦值为

2

2

．

点评：本题考查平面与平面垂直的证明，考查平面与平面所成锐二面角的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．