Question

已知函数f（x）=

1

x

．
（Ⅰ）写出函数f（x）的导函数，并用定义证明；
（Ⅱ）求函数f（x）图象在点P（1，f（1））处的切线方程．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,利用导数研究函数的单调性

专题：综合题,导数的概念及应用

分析：（Ⅰ）利用导数公式求导数，再用定义证明；
（Ⅱ）求出切线的斜率，切点的坐标，即可求函数f（x）图象在点P（1，f（1））处的切线方程．

解答： 解：（Ⅰ）f′（x）=-

1

x2

，…（1分）
用定义证明如下：

f(x+d)-f(x)

d

=

1 x+d - 1 x

d

=

-1

x(x+d)

，…（5分）
让d趋于0，上式趋于-

1

x2

．…（7分）
（Ⅱ）f（1）=1，故P（1，1）．…（8分）
由（Ⅰ）可知，曲线f（x）在点P处的切线斜率为k=f′（1）=-1，…（10分）
所以所求切线方程为y-1=-（x-1）…（12分）
即x+y-2=0．…（13分）

点评：本题主要考查导数的定义、导数的几何意义以及曲线的切线等基础知识．考查运算化简能力、推理论证能力和极限思想．