Question

如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，每个侧面均为边长为2的正方形，D为底边AB的中点，E为侧棱CC₁的中点．
（Ⅰ）求证：CD∥平面A₁EB；
（Ⅱ）求证：AB₁⊥平面A₁EB；
（Ⅲ）若F为A₁B₁的中点，求过F，D，B，C点的球的体积．

Answer 1

考点：直线与平面垂直的判定,球的体积和表面积,直线与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）设AB₁∩A₁B=O，连接EO，连接OD．由已知条件推导出四边形ECOD为平行四边形．由此能证明CD∥平面A₁BE．
（Ⅱ）由已知条件推导出BB₁⊥平面ABC，CD⊥平面A₁ABB₁．从而得到EO⊥AB₁．由此能证明AB₁⊥平面A₁BE．
（Ⅲ）过F，D，B，C点的球的直径是CB₁，由此能求出过F，D，B，C点的球的体积．

解答： （Ⅰ）证明：设AB₁∩A₁B=O，连接EO，连接OD．
因为O为AB₁的中点，D为AB的中点，
所以OD∥BB₁，且OD=

1

2

BB1．又E是CC₁中点，
所以EC∥BB₁，且EC=

1

2

BB₁，
所以 EC∥OD，且EC=OD．
所以，四边形ECOD为平行四边形．所以EO∥CD．
又CD不包含平面A₁BE，EO?平面A₁BE，
则CD∥平面A₁BE．…（4分）
（Ⅱ）证明：因为三棱柱各侧面都是正方形，
所以BB₁⊥AB，BB₁⊥BC．
所以BB₁⊥平面ABC．
因为CD?平面ABC，所以BB₁⊥CD．
由已知得AB=BC=AC，所以CD⊥AB，
所以CD⊥平面A₁ABB₁．
由（Ⅰ）可知EO∥CD，所以EO⊥平面A₁ABB₁．
所以EO⊥AB₁．
因为侧面是正方形，所以AB₁⊥A₁B．
又EO∩A₁B=O，EO?平面A₁EB，A₁B?平面A₁EB，
所以AB₁⊥平面A₁BE．…（8分）
（Ⅲ）解：由题意知过F，D，B，C点的球的直径是CB₁，
∴球半径R=

2

，
∴过F，D，B，C点的球的体积V=

4

3

π(

2

)3=

8 2

3

π．…（12分）

点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查直线与平面垂直的证明，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．