Question

数列{a_n}，{b_n}（n=1，2，3，…）由下列条件确定：①a₁＜0，b₁＞0；②当k≥2时，a_k与b_k满足：a_k-1+b_k-1≥0时，a_k=a_k-1，b_k=

ak-1+bk-1

2

；当a_k-1+b_k-1＜0时，a_k=

ak-1+bk-1

2

，b_k=b_k-1．
（Ⅰ）若a₁=-1，b₁=1，，求a₂，a₃，a₄，并猜想数列{a_n}的通项公式（不需要证明）；
（Ⅱ）在数列{b_n}中，若b₁＞b₂＞…b_s（s≥3，且s∈N^*），试用a₁，b₁表示b_k，k∈{1，2，…，s}；
（Ⅲ）在（Ⅰ）的条件下，设数列{c_n}（n∈N^*）满足c₁=

1

2

，c_n≠0，c_n+1=-

22-m

mam

cn2+cn （其中m为给定的不小于2的整数），求证：当n≤m时，恒有c_n＜1．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用题中的条件，分别令n=1，2，3，4，根据数列的前三项，猜想{a_n}的解析式．
（Ⅱ）用反证法证明 a_k-1+b_k-1≥0，由此推出 b_k-a_k=

bk-1-ak-1

2

 成立，可得{b_k-a_k}是首项为b₁-a₁，公比为

1

2

的等比数列，写出{b_k-a_k}的通项公式，可得b_k ．
（Ⅲ）由题意得c_n+1-c_n=

1

m

cn2＞0，由此推出

1

cn+1

-

1

cn

＞-

1

m

，进而得到c_n ＜

m

m+1

＜1．

解答：（Ⅰ）解：因为a₁+b₁=0，所以 a₂=a₁=-1，b₂=

a1+b1

2

=0．…（1分）
因为a₂+b₂=-1＜0，则 a₃=

a2+b2

2

=-

1

2

，b₃=b₂=0．…（2分）
a₄=

a3+b3

2

=

a3

2

=-

1

22

．…（3分）
猜想当n≥2时，a_n=a₂•(

1

2

)n-2=-

1

2n-2

．
则 a_n=

-1 ，  n=1 - 1 2n-2 ， n≥2

．   …（4分）
（Ⅱ）解：当 2≤k≤s时，假设a_k-1+b_k-1＜0，根据已知条件则有 b_k=b_k-1，
与 b₁＞b₂＞…＞b_s矛盾，因此 a_k-1+b_k-1＜0不成立，…（5分）

所以有a_k-1+b_k-1≥0，从而有 a_k=a_k-1，所以a_k=a₁．…（6分）

当a_k-1+b_k-1≥0时，a_k=a_k-1，bk= 

ak-1+bk-1

2

，
所以 b_k-a_k=

ak-1+bk-1

2

-a_k-1=

bk-1-ak-1

2

； …（8分）

当 2≤k≤s时，总有 b_k-a_k=

bk-1-ak-1

2

 成立．
又 b₁-a₁≠0，
所以{b_k-a_k}（k=1，2，3…s）是首项为b₁-a₁，公比为

1

2

的等比数列，…（9分）
b_k-a_k =（b₁-a₁） (

1

2

)k-1，k=1，2，3…s，
又因为 a_k=a₁，所以b_k=（b₁-a₁） (

1

2

)k-1+a₁ ，．…（10分）
（Ⅲ）证明：由题意得 cn+1= -

22-m

mam

cn2+cn=

1

m

cn2+c_n．
因为 c_n+1=

1

m

cn2+c_n，所以 c_n+1-c_n=

1

m

cn2＞0．
所以数列{c_n}是单调递增数列．…（11分）
因此要证 c_n＜1 （n≤m），只须证 c_m＜1．
由m≥2，则 c_n+1═

1

m

cn2+c_n＜

1

m

c_nc_n+1+c_n，即

1

cn+1

-

1

cn

＞-

1

m

．…（12分）
因此

1

cn

=（

1

cn

-

1

cn-1

）+（

1

cn-1

-

1

cn-2

）+（

1

cn-2

-

1

cn-3

）+…+（

1

c2

-

1

c1

）+

1

c1

 
＞-

m-1

m

+2=

m+1

m

．
所以，c_n ＜

m

m+1

＜1．
故当n≤m，恒有 c_n ＜1．…（14分）

点评：本题主要考查数列与不等式的综合，数列的递推式的应用，体现了转化的数学思想，属于难题．