Question

已知函数f(x)=x+

1

x

（1）求函数y=f（x）的定义域；
（2）判断函数y=f（x）的奇偶性并证明；
（3）判断函数y=f（x）在区间（1，+∞）的单调性并证明．

Answer 1

分析：（1）根据分母不为0得到x的范围，即为函数的定义域；
（2）函数f（x）为奇函数，理由为：根据（1）找出函数的定义域，发现关于原点对称，然后求出f（-x），化简后得到其等于-f（x），从而根据奇函数的定义得到此函数为奇函数；
（3）函数在区间（1，+∞）上为增函数，理由为：在区间（1，+∞）上任取x₁＞x₂＞1，求出f（x₁）-f（x₂），通分后，根据设出的x₁＞x₂＞1，判定其差大于0，即f（x₁）＞f（x₂），从而得到函数为增函数．

解答：解：（1）要使函数有意义，则x≠0，
∴函数y=f（x）的定义域为{x|x≠0}；（4分）
（2）函数f(x)=x+

1

x

是奇函数，
证明：函数y=f（x）的定义域为：（-∞，0）∪（0，+∞）
任取x∈（-∞，0）∪（0，+∞），都有f(-x)=(-x)+

1

-x

=-(x+

1

x

)=-f(x)
所以函数f(x)=x+

1

x

（x∈（-∞，0）∪（0，+∞））是奇函数；（8分）
（3）函数f(x)=x+

1

x

在区间（1，+∞）上是增函数，
证明：任取x₁、x₂使得x₁＞x₂＞1，
都有f(x1)-f(x2)=(x1+

1

x1

)-(x2+

1

x2

)=

(x1-x2)(x1x2-1)

x1x2

由x₁＞x₂＞1得，x₁-x₂＞0，x₁x₂＞0，x₁x₂-1＞0，
于是f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂），
所以，函数f(x)=x+

1

x

在区间（1，+∞）上是增函数．（12分）

点评：此题考查了函数定义域及其求法，函数奇偶性的判定，以及函数单调性的判定．奇函数的判定方法为：f（-x）=-f（x）且定义域关于原点对称；函数单调性的判别方法为：在定义域内任意取两个自变量设出其大小关系，利用作差的方法判定其对应的函数值的大小关系，从而得到函数的单调性．