Question

已知函数y=f（x）的定义域为R，则下列命题正确的有

①③④

．
①若f(x+1)=-

1

f(x)

，则y=f（x）的周期为2；
②y=f（x-1）与y=f（1-x）的图象关于直线x=0对称；
③若f（x-1）=f（1-x），且（-2，-1）是f（x）的单调减区间，则（1，2）是f（x）的单调增区间；
④若函数y=f（x）的图象关于点（-1，0）对称，则函数y=f（x-2）+1的图象关于点（1，1）对称．

Answer 1

分析：由f(x+1)=-

1

f(x)

，知f（x+2）=-

1

f(x+1)

=-

1

- 1 f(x)

=f（x）与y=f（-x）的图象关于直线x=0对称；函数y=f（x-1）与y=f（1-x）的图象可以由f（x）与y=f（-x）的图象向右移了一个单位而得到，所以函数y=f（x-1）与y=f（1-x）的图象关于直线x=1对称；若f（x-1）=f（1-x），且（-2，-1）是f（x）的单调减区间，则（1，2）是f（x）的单调增区间；若函数y=f（x）的图象关于点（-1，0）对称，函数y=f（x-2）+1的图象关于点（1，1）对称．

解答：解：∵f(x+1)=-

1

f(x)

，
∴f（x+2）=-

1

f(x+1)

=-

1

- 1 f(x)

=f（x），
∴y=f（x）的周期为2，故①正确；
：∵f（x）与y=f（-x）的图象关于直线x=0对称
又函数y=f（x-1）与y=f（1-x）的图象可以由f（x）与y=f（-x）的图象向右移了一个单位而得到，
∴函数y=f（x-1）与y=f（1-x）的图象关于直线x=1对称．故②不正确；
若f（x-1）=f（1-x），且（-2，-1）是f（x）的单调减区间，
则（1，2）是f（x）的单调增区间，故③正确；
∵若函数y=f（x）的图象关于点（-1，0）对称，
函数y=f（x-2）+1的图象关于点（1，1）对称．
故答案为：①③④．

点评：本题主要考查函数的图象及其图象间的变换，对于常见的类型如：f（x+2）=f（2-x），f（x+2）=-f（2-x），f（x+2）=f（x-2），y=f（x+2）与y=f（2-x）间的关系，要熟练掌握．