Question

1．已知函数$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{x^2}-2x，x≤0\\ \frac{{\sqrt{x}}}{e^x}，x＞0\end{array}\right.$，若关于x的方程f（x）-a+1=0恰有3个不同的实数根，则实数a的取值范围为（　　）

• A． $（1，\frac{{\sqrt{2e}}}{2e}+1）$
• B． $（1，\frac{1}{e}+1）$
• C． $（0，\frac{1}{2e}+1）$
• D． $（\frac{1}{e}，1）$

Answer 1

分析 利用导数求出函数的单调区间，画出函数图象，根据图象即可求解．

解答 解：当x＞0时，f（x）=$\frac{\sqrt{x}}{{e}^{x}}$，f′（x）=$\frac{\frac{1}{2\sqrt{x}}-\sqrt{x}}{{e}^{x}}$，
令f′（x）=0，得x=$\frac{1}{2}$，x$∈（0，\frac{1}{2}）$时，f′（x）＞0，x$∈（\frac{1}{2}，+∞）时$，f′（x）＜0
∴f（x）在（0，$\frac{1}{2}$）递增，在（$\frac{1}{2}$，+∞）递减，
所以函数f（x）的图形如下：
根据图象可得：方程f（x）-a+1=0恰有3个不同的实数根时，0＜a-1＜f（$\frac{1}{2}$）
f（$\frac{1}{2}$）=$\frac{\sqrt{2e}}{2e}$，实数a的取值范围为（1，1+$\frac{\sqrt{2e}}{2e}$）．
故选：A．

点评 本题考查了函数的零点的定义及求法，考查了函数与方程的思想、数形结合思想，属于中档题．