Question

11．如图所示的空间几何体ABCDEFG中，四边形ABCD是边长为2的正方形，AE⊥平面ABCD，EF∥AB，EG∥AD，EF=EG=1，AE=3
（Ⅰ）求证：平面CFG⊥平面ACE
（Ⅱ）求平面CEG与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）欲证明平面CGF⊥平面ACE，可通过证明GF⊥平面ACE，需证明AC⊥GF，AE⊥GF，结合GE∥AB，EF∥AD进行证明；
（Ⅱ）方法一：构造平面ECG与平面ABCD所成二面角的平面角∠EBA，则BE=$\sqrt{13}$，cos∠EBA=$\frac{AB}{EB}$=$\frac{2\sqrt{13}}{13}$，即可求得答案；
方法二：建立空间直角坐标系，分别求得平面CEG与平面ABCD的法向量，利用cosα=$\frac{\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{n}}{丨\overrightarrow{AE}丨•丨\overrightarrow{n}丨}$，即可求得平面CEG与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值．

解答 证明：（Ⅰ）∵GE∥AB，EF∥AD，GE=EF=1，AB=AD=2，
∴AM=AN=1，∴GF∥MN且GF=MN．
∵MN∥BD，∴GF∥BD．
∵AE⊥平面ABCD，∴AE⊥BD，AE⊥GF．
又∵在正方形ABCD中，AC⊥BD，∴AC⊥GF．
∵AC∩AE=A，∴GF⊥平面ACE，
∴平面CGF⊥平面ACE．
解：（Ⅱ）解法一：由EG∥AD，则EG∥BC，
∴平面CEG与平面ABCD所成的锐二面角即为EBCG与平面ABCD所成的锐二面角，
连接BE，由AE⊥ABCD，AB⊥BC，则BE⊥BC，
则∠EBA为平面ECG与平面ABCD所成二面角的平面角，
由AE=3，AB=2，则BE=$\sqrt{13}$，
cos∠EBA=$\frac{AB}{EB}$=$\frac{2\sqrt{13}}{13}$，
平面CEG与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值$\frac{2\sqrt{13}}{13}$．
方法二：建立如图坐标系A-xyx，则A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，2，0）E（0，0，3），
G（0，1，3），
则$\overrightarrow{AE}$=（0，0，3），为平面ABCD的一个法向量，
设$\overrightarrow{n}$=（x，y，z）为平面CEG的一个法向量，
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}\overrightarrow{CE}=0}\\{\overrightarrow{n}\overrightarrow{CG}=0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{-2x-y+3z=0}\\{-2x-2y+3z=0}\end{array}\right.$，令y=0，则z=2，
∴$\overrightarrow{n}$=（3，0，2），
设平面CEG与平面ABCD所成的锐二面角α，
则cosα=$\frac{\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{n}}{丨\overrightarrow{AE}丨•丨\overrightarrow{n}丨}$=$\frac{6}{3\sqrt{13}}$=$\frac{2\sqrt{13}}{13}$，
平面CEG与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值$\frac{2\sqrt{13}}{13}$．

点评 本题考查直线与平面垂直的证明，考查异面直线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意向量法的合理运用．