Question

20．已知点M的坐标（x，y）满足不等式组$\left\{\begin{array}{l}{2x+y-4≥0，}&{\;}\\{x-y-2≤0，}&{\;}\\{y-3≤0，}&{\;}\end{array}\right.$N为直线y=-2x+2上任一点，则|MN|的最小值是$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．

Answer 1

分析 由约束条件作出可行域，数形结合可知，可行域内的动点到直线y=-2x+2的最短距离为A（2，0）到直线2x+y-2=0的距离，再由点到直线的距离公式得答案．

解答 解：由约束条件$\left\{\begin{array}{l}{2x+y-4≥0，}&{\;}\\{x-y-2≤0，}&{\;}\\{y-3≤0，}&{\;}\end{array}\right.$作出可行域如图：

由图可知，可行域内的动点到直线y=-2x+2的最短距离为A（2，0）到直线2x+y-2=0的距离，等于$\frac{|4-2|}{\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$．
故答案为：$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．

点评 本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．